天津大学全国统考博士生入学考试业务课程大纲
课程编号：3376 课程名称： 微分方程基础
一、考试要求
要求考生全面系统地掌握常、偏微分方程的基础理论，具备一定的分析问题与解决问题的能力。
二、考试内容
1．常微分方程
a) 常微分方程基本理论（20%）：主要包括解的存在与唯一性定理，解的延展定理，解对初值与参数的依赖性，微分比较定理；
b) 线性微分方程组基础（10%）：常系数线性微分方程组的基本理论，周期系数线性微分方程组基本理论等；
c) 常微分方程定性理论（10%）：定常系统的基本性质，奇点及周期解等基本概念；
d) 常微分方程稳定性理论（10%）：常微分方程稳定性相关的基本概念，稳定性的判定方法，Lyapunov稳定性的概念与基本理论。
2．偏微分方程
a) 线性椭圆型偏微分方程的 理论 (20%)：Lax-Milgram定理, 散度型线性椭圆型偏微分方程的弱解, Fredholm二择一定理, 弱解的极值原理和弱解的正则性；
b) 线性发展方程（15%）：二阶抛物型方程弱解的存在性、正则性和极值原理，二阶双曲方程弱解的存在性和正则性；
c) 非线性偏微分方程（15%）： 非线性泛函极小化子的存在性及其应用，山路定理及其对半线性椭圆方程的应用。
三、考试形式
面试。
四、参考书目
1. 尤秉礼编，常微分方程补充教程，人民教育出版社，1991.
2. 张芷芬、丁同仁等，微分方程定性理论，科学出版社，1985.
3. J. K. Hale, Ordinary Differential Equations, 1980.
4．L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.
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